Funktioner

Lineære funktioner

$graph(320,320, -1,10, -1,10, 0.5*x+3)$

En funktion kaldes lineær, hvis den har en regneforskrift af formen

$y = ax +b$

hvor $a$ og $b$ er konstanter.

Hvis den lineære funktion $y = ax +b$ har støttepunkterne ( $x[1]$ , $y[1]$ ) og ( $x[2]$ , $y[2]$ ), så kan $a$ og $b$ beregnes ved formlerne

$a = DELTA[y] / DELTA[x] = (y[2] -y[1]) / (x[2] -x[1])$

$b = y[1] -a*x[1]$ eller $b = y[2] -a*x[2]$

Eksponentielle funktioner

En funktion kaldes eksponentiel, hvis den har en regneforskrift af formen

$y = b * a^x$

hvor $a$ og $b$ er positive konstanter.

Når $x$ vokser med $x[2]-x[1]$ , så ganges $y$ med $a^(DELTA(x))$
$y[2] = y[1] * a^(x[2]-x[1])$

Hvis $a < 1$ , så er funktionen aftagende.
Hvis $a = 1$ , så er funktionen konstakt lig med $b$ .
Hvis $a > 1$ , så er funktionen voksende.

Hvis den eksponentielle funktion $y = b * a^x$ har støttepunkterne ( $x[1]$ , $y[1]$ ) og ( $x[2]$ , $y[2]$ ), så kan $a$ og $b$ beregnes ved formlerne

$a = root( DELTA(x), y[2] / y[1] )$

$b = y[1] / a^x[1]$ eller $b = y[2] / a^x[2]$ eller bare $b = y / a^x$

For en voksende eksponentiel funktion, hvor $a$ er større end 1, kan fordoblingskontanten bestemmes ved formlen

$T[2] = log((2)) / log((a))$

For en aftagende eksponentiel funktion, hvor $a$ ligger mellem 0 og 1, kan halveringskontanten bestemmes ved formlen

$T[1/2] = log((1/2)) / log((a))$

Desuden gælder $a = root( T[2], 2 )$ og $a = root( T[1/2], 1/2 )$

Potensfunktioner

En funktion kaldes en potensfunktion, hvis den har en regneforskrift af formen

$y = b * x^a$

hvor $a$ er en konstant og $b$ er en positiv konstant.

Når $x$ ganges med $k$ , så ganges $y$ med $k^a$
$y[2] = y[1] * k^a$
eller når $x$ får en relativ tilvækst på $(k -1)$ , så får $y$ en relativ tilvækst på $(k^a -1)$

Hvis $a < 0$ , så er funktionen aftagende.
Hvis $a = 0$ , så er funktionen konstakt lig med $b$ .
Hvis $a > 0$ , så er funktionen voksende.

Hvis potensfunktionen $y = b * x^a$ har støttepunkterne ( $x[1]$ , $y[1]$ ) og ( $x[2]$ , $y[2]$ ), så kan $a$ og $b$ beregnes ved formlerne

$a = log((y[2]/y[1])) / log((x[2]/x[1])))$

$b = y[1] / x[1]^a$ eller $b = y[2] / x[2]^a$

Beviser

Påstand: $a = log((y[2]/y[1])) / log((x[2]/x[1]))$
Præmis: $y[2] = y[1] * ( x[2] / x[1] )^a$
Påstanden følger ved at isolere $a$

Ligefrem proportionalitet

Størrelsen $y$ er ligefrem proportional med $x$ , hvis sammenhængen kan angives ved en regneforskrift af formen
$y = a*x$
hvor $a$ er en konstant forskellig fra 0.

Omvendt proportionalitet

Størrelsen $y$ er omvendt proportional med $x$ , hvis sammenhængen kan angives ved en regneforskrift af formen
$y = b*(1/x)$ eller $y = b * x^-1$
hvor $x>0$ og $b$ er en positiv konstant.