Funktioner

En funktion er en forskrift, der til hvert tal \(x\) i definitionsmængen \(Dm(f)\) lader svare præcis ét tal \(y\) i værdimængden \(Vm(f)\). Tallet \(y\) kaldes funktionsværdien af \(x\) og skrives \(y = f(x)\).

Elementære funktioner

Navn	Formel
Kvadratfunktionen	\(f(x) = x^2\)
Kvadratrodsfunktionen	\(f(x) = \sqrt{x}\), \(x \geq 0\)
Lineær funktion	\(f(x) = ax +b\)
Reciprokfunktion	\(f(x) = \frac{1}{x}\), \(x \neq 0\)

Proportionalitet og omvendt proportionalitet

• To størrelser \(x\) og \(y\) kaldes proportionale, hvis der findes et tal \(k\), så \(y = kx\) eller \(\frac{y}{x} = k\).
• To størrelser \(x\) og \(y\) kaldes omvendt proportionale, hvis deres produkt er konstant, dvs. hvis der findes et tal \(k\), så \(xy = k\) eller \(y = \frac{k}{x}\).
• Tallet \(k\) kaldes proportionalitetsfaktoren.

Andengradspolynomiet

\(f(x) = ax^2 +bx +c\), \(a \neq 0\) ; diskriminant \(d = b^2 -4ac\)
Tallet \(r\) er en rod, hvis \(f(r)=0\), dvs. grafen skærer x-aksen i \((r, 0)\).
Hvis \(a > 0\) vender grenene opad, hvis \(a < 0\) vender grenene nedad.

Skæringspunkter med x-aksen:

• \(d < 0\): Ingen skæringspunkter (rødder).
• \(d = 0\): Et skæringspunkt (rod): \(x = \frac{-b}{2a}\)
• \(d > 0\): To skæringspunkter (rødder): \(x = \frac{-b\pm\sqrt{d}}{2a}\)

Faktoropløsning

• Hvis \(d < 0\) findes ingen faktoropløsning.
• Hvis \(d = 0\), er \(ax^2 +bx +c = a(x -r_1)^2\), hvor \(r_1\) er den eneste rod.
• Hvis \(d > 0\), er \(ax^2 +bx +c = a(x -r_1)(x -r_2)\), hvor \(r_1\) og \(r_2\) er rødderne.

Andengradsligningen

Ligningen \(ax^2 +bx +c = 0\) har:

• hvis \(d < 0\): ingen løsning
• hvis \(d = 0\): én løsning, nemlig \(x = \frac{-b}{2a}\)
• hvis \(d > 0\): to løsninger, nemlig \(x = \frac{-b\pm\sqrt{d}}{2a}\)

Polynomier

Polynomium af \(n\)-te grad: \(f(x) = a_{n}x^n +a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_{2}x^2 +a_{1}x^1 +a_0\)
Tallet \(k\) er en rod, hvis \(f(k)=0\), dvs. grafen skærer x-aksen i \((k, 0)\).
Et polynomium af \(n\)-te grad har højst \(n\) rødder.

Potensvækst

En potensfunktion er en funktion af typen \(f(x) = x^a\), \(x > 0\).
En potensvækst er en funktion af typen \(f(x) = bx^a\), \(x > 0\).

• Hvis \(a > 0\) er funktionen voksende.
• Hvis \(a < 0\) er funktionen aftagende.

Hvis den uafhængige variabel \(x\) vokser med procenten \(r\) (skrevet som decimalbrøk), vokser den afhængige variabel \(y\) med procenten \((1 +r)^a -1\).

Ligninger

Nulreglen: \(ab = 0 \Leftrightarrow a = 0 \vee b = 0\)

Algebraisk løsning: Ved regning eller ved hjælp af ligningsløseren på cas.

Grafisk løsning: \(f(x) = g(x)\) for de værdier af \(x\), der er x-koordinat til de to grafers skæringspunkter.