Funktionen \(f\) kaldes differentiabel i punktet \(x_0\), hvis differenskvotienten
\[\frac{\Delta y}{h} = \frac{f(x_0 +h) -f(x_0)}{h}\]
har en grænseværdi for \(h \to 0\). Grænseværdien kaldes differentialkvotienten og betegnes \(f^\prime(x_0)\) , dvs.
\[\frac{\Delta y}{h} = \frac{f(x_0 +h) -f(x_0)}{h} \to f^\prime(x_0)\ for\ h \to 0\]
Differenskvotienten angiver hældningen for sekanten gennem punkterne \((x_0 , f(x_0))\) og \((x_0 +h , f(x_0 +h))\) .
Differenskvotienten \(f^\prime(x_0)\) angiver tangentens hældningskoefficient i punktet \((x_0 , f(x_0))\) eller væksthastigheden i punktet.
Funktionen \(f\) kaldes differentiabel, hvis den er differentiabel i ethvert punkt af sin definitionsmængde.
| \(\) | \(\) | \(\) | \(\) | \(\) | \(\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | \(ax +b\) | \(k\) | \(ax^2 +bx +c\) | \(\sqrt{x} = x^\frac{1}{2}\) | \(\frac{1}{x}\) |
| \(f^\prime(x)\) | \(a\) | \(0\) | \(2ax +b\) | \(\frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}\) | \(-\frac{1}{x^2}\) |
Hvis \(f\) er differentiabel i punktet \(x_0\) , har tangenten til grafen i punktet \((x_0 , f(x_0))\) ligningen
\[y -f(x_0) = f^\prime(x_0)(x -x_0)\]